Question

如圖所示，正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，在梯形ABCD中，分別是以DB和CD為斜邊的等腰直角三角形，AD=1．

（I）求證AF平面ABCD；

（II）求直線FC與平面ABCD所成角的正弦值；

（III）在線段CE上是否存在點M，使得DM平面FAB，如果存在，說明點M滿足的條件，如果不存在，說明理由．

Answer 1

（I）證明：是正方形，

又平面ADEF和平面ABCD互相垂直，且相交于AD，平面ADEF

AF平面ABCD．

（II）法一：由（1）得AF平面ABCD，FC在平面ABCD上的射影是AC，

FC和平面ABCD所成的角為

，在中，，

又，在中，

 

法二：由（1）得AF平面ABCD，又，故兩兩垂直，可建立如圖所示的空間直角坐標系，

并且可求得，

又平面ABCD的法向量為，   

設直線FC與平面ABCD所成角為，則

（III）法一：平面FAB，平面FAB  ①     在梯形ABCD中，平面FAB，平面FAB  ②   

由①②及，得平面平面FAB，    

又不論M在線段CE的何種位置，都有平面EDC

所以不論M在線段CE的何種位置，都有DM平面FAB      

法二：在（2）所建的空間直角坐標系中，

因為軸平面FAB，所以可取平面FAB的法向量為    

設，則，   若DM平面FAB，則即，

因為上式對于任意的恒成立，

故不論M在線段CE的何種位置，都有DM平面FAB