Question

設關于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α、β，且α＜β．定義函數(shù)f（x）=

2x-m

x2+1

．
（Ⅰ）求αf（α）+βf（β）的值；
（Ⅱ）判斷f（x）在區(qū)間（α，β）上的單調性，并加以證明；
（Ⅲ）對?x₁，x₂∈（α，β），證明不等式：|f（x₁）-f（x₂）|＜|α-β|．

Answer 1

考點：函數(shù)單調性的性質,函數(shù)單調性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（Ⅰ）由題意可得

α+β=m α•β=-1

，求得f（α）=

2α-m

α2+1

=

1

α

，同理求得f(β)=

1

β

，可得αf（α）+βf（β）的值．
（Ⅱ）由條件求得f′（x）=-

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，當x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，可得f′（x）＞0，可得f（x）在（α，β）上為增函數(shù)．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知f（α）＜f（x₁）＜f（β），f（α）＜f（x₂）＜f（β），證得|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|，再根據(jù)|f(α)-f(β)|=|

1

α

-

1

β

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|，可得要證的不等式成立．

解答： （Ⅰ）解：∵α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，∴

α+β=m α•β=-1

，
∴f(α)=

2α-m

α2+1

=

2α-(α+β)

α2-αβ

=

α-β

α(α-β)

=

1

α

，同理f(β)=

1

β

，
∴αf（α）+βf（β）=2．
（Ⅱ）∵f(x)=

2x-m

x2+1

，
∴f′(x)=

2(x2+1)-(2x-m)•2x

(x2+1)2

=-

2(x2-mx-1)

(x2+1)2

，
當x∈（α，β）時，x²-mx-1=（x-α）（x-β）＜0，
而f'（x）＞0，∴f（x）在（α，β）上為增函數(shù)．
（Ⅲ） 由（Ⅱ）可知f（α）＜f（x₁）＜f（β）；f（α）＜f（x₂）＜f（β），
∴f（α）-f（β）＜f（x₁）-f（x₂）＜f（β）-f（α），
∴|f（x₁）-f（x₂）|＜|f（α）-f（β）|．
再由（Ⅰ）知f(α)=

1

α

，f(β)=

1

β

，αβ=-1，
∴|f(α)-f(β)|=|

1

α

-

1

β

|=|

β-α

αβ

|=|α-β|，
所以|f（x₁）-f（x₂）|＜|α-β|．

點評：本題主要考查韋達定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，二次函數(shù)的性質應用，屬于基礎題．