Question

如圖，在xOy平面上，點A（1，0），點B在單位圓上，∠AOB=θ（0＜θ＜π），若

OA

+

OB

=

OC

，四邊形OACB的面積用S_θ表示，則S_θ+

OA

•

OC

-1的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用向量的數(shù)量積運算法則、平行四邊形的面積計算公式可得S_θ+

OA

•

OC

-1=sinθ+cosθ，再利用兩角和的正弦公式、正弦函數(shù)的值域，即可得出它的范圍．

解答： 解：∵S_θ=|OA||OB|sinθ=sinθ，

OA

=（0，1），

OB

=（cosθ sinθ），
∴

OC

=

OA

+

OB

=（cosθ，1+sinθ），∴

OA

•

OC

=1+cosθ，
∴S_θ+

OA

•

OC

-1=sinθ+1+cosθ-1=cosθ+sinθ=

2

sin（θ+

π

4

）．
∵0＜θ＜π，∴

π

4

＜θ+

π

4

＜

5π

4

，∴-

2

2

＜sin（θ+

π

4

）≤1，∴-1＜

2

sin（θ+

π

4

）≤

2

，
故答案為：(-1，

2

]．

點評：本題綜合考查了任意角的三角函數(shù)定義、半角公式、兩角和差的正切公式、向量的數(shù)量積運算法則、平行四邊形的面積計算公式、兩角和的正弦公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．