Question

已知點A的坐標為（0，2），點B是橢圓x²+6y²=6上的動點，則|AB|的最大值為

 

．

Answer 1

考點：三角函數(shù)的最值,橢圓的參數(shù)方程

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由橢圓的參數(shù)方程（或三角代換）可得x=

6

cosθ，y=sinθ，進而可得|AB|²=-5sin²θ-4sinθ+10，令sinθ=t，則t∈[-1，1]，由二次函數(shù)區(qū)間的最值可得|AB|²取最大值，開方可得|AB|取最大值．

解答： 解：化橢圓x²+6y²=6為標準方程可得

x2

6

+y2=1，
由橢圓的參數(shù)方程可得x=

6

cosθ，y=sinθ，
∴|AB|²=（

6

cosθ-0）²+（sinθ-2）²
=6cos²θ+sin²θ-4sinθ+4
=6（1-sin²θ）+sin²θ-4sinθ+4
=-5sin²θ-4sinθ+10，
令sinθ=t，則t∈[-1，1]，
∴|AB|²=-5t²-4t+10的圖象為開口向下的拋物線，對稱軸為t=-

2

5

，
∴|AB|²=-5t²-4t+10在t∈[-1，-

2

5

]單調(diào)遞增，在t∈[-

2

5

，1]單調(diào)遞減，
∴當(dāng)t=-

2

5

時，|AB|²取最大值

54

5

，此時|AB|取最大值

3 30

5

故答案為：

3 30

5

點評：本題考查三角函數(shù)求最值，涉及橢圓的參數(shù)方程和二次函數(shù)區(qū)間的最值，屬中檔題．