Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-ax-1（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），a＞0．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，證明：a^a=e^a-1；
（Ⅱ）若f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的最小值證明a^a=e^a-1；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）函數(shù)的最小值，結(jié)合f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出新函數(shù)的最小值利用恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值集合．

解答： （Ⅰ）證明：由f（x）=e^x-ax-1，得f'（x）=e^x-a．…（1分）
由f'（x）＞0，即e^x-a＞0，解得x＞lna，同理由f'（x）＜0解得x＜lna，
∴f（x）在（-∞，lna）上是減函數(shù)，在（lna，+∞）上是增函數(shù)，
于是f（x）在x=lna取得最小值．
又∵函數(shù)f（x）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則f（x）_min=f（lna）=0，…（4分）
即e^lna-alna-1=0．…（5分）
化簡得：a-alna-1=0，即alna=a-1，于是lna^a=a-1，
∴a^a=e^a-1． …（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，f（x）在x=lna取得最小值f（lna），
由題意得f（lna）≥0，即a-alna-1≥0，…（8分）
令h（a）=a-alna-1，則h'（a）=-lna，
由h'（a）＞0可得0＜a＜1，由h'（a）＜0可得a＞1．
∴h（a）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，即h（a）_max=h（1）=0，
∴當(dāng)0＜a＜1或a＞1時(shí)，h（a）＜0，
∴要使得f（x）≥0對(duì)任意x∈R恒成立，a=1．
∴a的取值集合為{1}…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查邏輯推理能力，構(gòu)造新函數(shù)是解題本題的關(guān)鍵．