Question

記公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比數(shù)列．
（Ⅰ） 求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ） 若c_n=n²+λa_n，n=1，2，3，…，問是否存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列？若存在，請求出λ的取值范圍；不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合,數(shù)列的函數(shù)特性

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用等差數(shù)列S₃=9，a₃，a₅，a₈成等比數(shù)列，列出關(guān)系式，求出首項與公差，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n及S_n；
（Ⅱ） c_n=n²+λa_n，n=1，2，3，…，存在實數(shù)λ，使得數(shù)列{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，利用作差法，c_n+1-c_n＞0，得到λ＞-2n-1對一切n∈N*恒成立，求出λ的范圍即可．．

解答： 解：（Ⅰ） 由S3=9，a52=a3•a8，
得：

3a1+ 3×2 2 d=9 (a1+4d)2=(a1+2d)•(a1+7d)

解得：a₁=2，d=1．
∴a_n=n+1，Sn=

n(2+n+1)

2

=

n2

2

+

3

2

n．  …（5分）
（Ⅱ） 由題知c_n=n²+λ（n+1）．   …（6分）
若使{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，
則c_n+1-c_n=（n+1）²+λ（n+2）-[n²+λ（n+1）]
=2n+1+λ＞0對一切n∈N*恒成立，
即：λ＞-2n-1對一切n∈N^*恒成立，…10分
又ϕ（n）=-2n-1是單調(diào)遞減的，
∴當(dāng)n=1時，ϕ（n）_max=-3，
∴λ＞-3．    …（12分）

點評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列的函數(shù)特征，函數(shù)恒成立的應(yīng)用，考查計算能力．