Question

【題目】已知是各項均為正數的等比數列，且滿足，，等差數列滿足，.

（Ⅰ）分別求數列，的通項公式；

（Ⅱ）記數列的前項和為，若對任意的，恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在各項均為正數的等比數列中，將已知兩個關系式中各項都由等比數列通項公式轉化為首項與公比，進而求得首項與公比，并寫出該數列通項公式；在等差數列中，由等差數列性質求得公差，進而求得首項，即可寫出該數列通項公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得數列的前項和，將其帶入已知不等式，進而參變分離轉化不等式，再令，分析其數列的增減性，求得最值，即可求得答案.

（Ⅰ）設正數等比數列的公比為，由題意得

，∴

又由題意得，∴，且

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得數列的前項和，

∴對恒成立，即對恒成立，

令，，

當時，，數列為遞增數列；當時，，數列為遞減數列，

∴，故.