Question

解關(guān)于x的不等式：

2ax-a2

＞1-x（a＞0）．

Answer 1

考點(diǎn)：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：在同一直角坐標(biāo)系中作出y=

2ax-a2

（a＞0），與y=1-x的圖象，分當(dāng)a＞1、a=1、0＜a＜1三類討論，分別解得不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集即可．

解答： 解：在同一直角坐標(biāo)系中作出y=

2ax-a2

（a＞0），與y=1-x的圖象：

半拋物線y=

2ax-a2

（a＞0）的頂點(diǎn)A（a，0），
當(dāng)a＞1時(shí)，由圖知，在區(qū)間[a，+∞）上，y=

2ax-a2

（a＞0）的圖象在直線y=1-x的上方，所以不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x≥a}；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x＞a}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，設(shè)y=

2ax-a2

（a＞0）與y=1-x相交于點(diǎn)P（x₀，y₀），如圖：

由

y= 2ax-a2 y=1-x

消去y得：x²-（2+2a）x+1+a²=0，
因?yàn)椤?（2+2a）²-4（1+a²）=8a＞0，
∴x=

2(1+a)- 8a

2

=1+a-

2

a或x=

2(1+a)+ 8a

2

=1+a+

2

a（拋物線的下支與y=1-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，舍去），
由圖可得，P（1+a-

2

a，

2

a-a），不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x＞1+a-

2

a}；
綜上所述，當(dāng)a＞1時(shí)，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x≥a}；
當(dāng)a=1時(shí)，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x＞a}；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式

2ax-a2

＞1-x（a＞0）的解集為{x|x＞1+a-

2

a}．

點(diǎn)評：本題考查無理不等式的解法，作圖是關(guān)鍵，考查分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題．