Question

設函數f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
（1）求f（3）的值；
（2）若令t=log₃x，求實數t的取值范圍；
（3）將y=f（x）表示成以t（t=log₃x）為自變量的函數，并由此求函數y=f（x）的最大值與最小值及與之對應的x的值．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）根據解析式求解，（2）根據對數函數的單調性求解．（3）轉化二次函數求解，g（t）=t²+3t+2，-2≤t≤2，

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
∴f（3）=log₃（9×3）•log₃（3×3）=3×2=6，
（2）令t=log₃x，
∵f（x）=log₃（9x）•log₃（3x），且

1

9

≤x≤9．
∴log3

1

9

≤t（x）≤log₃9，
∴實數t的取值范圍：-2≤t≤2，
（3）g（t）=t²+3t+2，-2≤t≤2，
對稱軸t=-

3

2

，根據二次函數的性質可得：
g（-

3

2

）=-

1

4

，log3x=-

3

2

，x=

3

9

，
g（2）=12，log₃x=2，x=9
故函數y=f（x）的最大值12，x=9，最小值-

1

4

，x=

3

9

，

點評：本題考查了二次函數的性質，對數函數的性質，屬于中檔題．