Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=2a_n+1（n∈N^*）．
（1）計算a₂，a₃，a₄，推測數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項和，求S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合首項求得a₂，a₃，a₄，并由前4項推測數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）分組后直接利用等比數(shù)列的前n項和得答案．

解答： 解：（1）由a₁=1，a_n+1=2a_n+1，得
a₂=2a₁+1=3，a₃=2a₂+1=7，a₄=2a₃+1=15．
由數(shù)列前4項猜測：an=2n-1；
（2）S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=2¹-1+2²-1+…+2ⁿ-1
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n
=

2(1-2n)

1-2

-n=2n+1-n-2．

點評：本題考查了由數(shù)列的部分項推測數(shù)列的通項公式，考查了數(shù)列的分組求和，考查了等比數(shù)列的前n項和，是中檔題．