Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\frac{sin（π+x）cos（π-x）}{{sin（\frac{π}{2}-x）cos（2π+x）}}$．
（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α為第三象限角且$f（α）=\frac{1}{3}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導公式化簡函數(shù)的解析式，可得結(jié)果．
（2）由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式，求得sinα的值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{sin（π+x）cos（π-x）}{{sin（\frac{π}{2}-x）cos（2π+x）}}$=$\frac{-sinx•（-cosx）}{cosx•cosx}$=tanx．
（2）∵$f（α）=tanα=\frac{1}{3}$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{sinα}{cosα}=\frac{1}{3}}\\{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α=1}\end{array}}\right.$，∴${sin^2}α=\frac{1}{10}$，
又α為第三象限角，所以$sinα=-\frac{{\sqrt{10}}}{10}$．

點評 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導公式的應(yīng)用，以及三角函數(shù)在各個象限中的符號，屬于基礎(chǔ)題．