Question

7．已知${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，則a+b的最小值為$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，可得3a+4b=$（\sqrt{2ab}）^{2}$=2ab，a，b＞0.$\frac{3}+\frac{4}{a}$=2，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵${log_4}（3a+4b）={log_2}\sqrt{2ab}$，∴3a+4b=$（\sqrt{2ab}）^{2}$=2ab，a，b＞0．
∴$\frac{3}+\frac{4}{a}$=2，∴a+b=$\frac{1}{2}$（a+b）$（\frac{3}+\frac{4}{a}）$=$\frac{1}{2}$（7+$\frac{3a}$+$\frac{4b}{a}$）≥$\frac{7+2\sqrt{\frac{3a}×\frac{4b}{a}}}{2}$=$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{3}$a=2b=3+2$\sqrt{3}$．
則a+b的最小值為$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$，
故答案為：$\frac{7+4\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．