Question

12．若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對(duì)于任意x＞0滿(mǎn)足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y）．
（1）求f（1）的值；
（2）若f（6）=1，試求解不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1，即可求得f（1）的值；
（2）由f（6）=1，f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），可求得f（36）=2，依題意，可將不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2轉(zhuǎn)化為f[x（x+5）]＜f（36），再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求得不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集．

解答 解：（1）∵對(duì)于任意x＞0滿(mǎn)足f （$\frac{x}{y}$）=f（x）-f （y），
令x=y=1，得：f（1）=0；
（2）若f（6）=1，則f（$\frac{36}{6}$）=f（36）-f（6），即f（36）=2f（6）=2，
∴f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2?f[x（x+5）]＜f（36），
∵f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+5＞0}\\{x＞0}\\{x（x+5）＜36}\end{array}\right.$，解得：0＜x＜4．
∴不等式f（x+5）-f （$\frac{1}{x}$）＜2的解集為{x|0＜x＜4}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，考查賦值法與解不等式的能力，屬于中檔題．