Question

7．函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，1]時，$f（x）={x^{\frac{1}{2}}}$，若函數(shù)g（x）=f（x）-x-b恰有一個零點，則實數(shù)b的取值集合是（　　）

• A． $（2k-\frac{1}{4}，2k+\frac{1}{4}），k∈Z$
• B． $（2k+\frac{1}{2}，2k+\frac{5}{2}），k∈Z$
• C． $（4k-\frac{1}{4}，4k+\frac{1}{4}），k∈Z$
• D． $（4k+\frac{1}{4}，4k+\frac{15}{4}），k∈Z$

Answer 1

分析 根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對稱性，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的解析式，利用轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x-1）為偶函數(shù)，
∴f（-x-1）=f（x-1）=-f（x+1），
即f（x）=-f（x+2），
則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期是4，
∵f（x-1）為偶函數(shù)，∴f（x-1）關(guān)于x=0對稱，
則f（x）關(guān)于x=-1對稱，同時也關(guān)于x=1對稱，
若x∈[-1，0]，則-x∈[0，1]，
此時f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），則f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈[-1，0]，
若x∈[-2，-1]，x+2∈[0，1]，
則f（x）=-f（x+2）=-$\sqrt{x+2}$，x∈[-2，-1]，
若x∈[1，2]，x-2∈[-1，0]，
則f（x）=-f（x-2）=$\sqrt{-（x-2）}$=$\sqrt{2-x}$，x∈[1，2]，
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由數(shù)g（x）=f（x）-x-b=0得f（x）=x+b，
由圖象知當(dāng)x∈[-1，0]時，由-$\sqrt{-x}$=x+b，平方得x²+（2b+1）x+b²=0，
由判別式△=（2b+1）²-4b²=0得4b+1=0，得b=-$\frac{1}{4}$，此時f（x）=x+b有兩個交點，
當(dāng)x∈[4，5]，x-4∈[0，1]，則f（x）=f（x-4）=$\sqrt{x-4}$，
由$\sqrt{x-4}$=x+b，平方得x²+（2b-1）x+4+b²=0，
由判別式△=（2b-1）²-16-4b²=0得4b=-15，得b=-$\frac{15}{4}$，此時f（x）=x+b有兩個交點，
則要使此時f（x）=x+b有一個交點，則在[0，4]內(nèi)，b滿足-$\frac{15}{4}$＜b＜-$\frac{1}{4}$，
即實數(shù)b的取值集合是4n-$\frac{15}{4}$＜b＜4n-$\frac{1}{4}$，
即4（n-1）+$\frac{1}{4}$＜b＜4（n-1）+$\frac{15}{4}$，
令k=n-1，
則4k+$\frac{1}{4}$＜b＜4k+$\frac{15}{4}$，
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)零點的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的周期性和對稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．