Question

已知向量

a

=（sin

1

2

x，

3

），

b

=（1，cos

1

2

x），函數(shù)f（x）=

a

•

b

．
（1）若f（x）=0，且π＜x＜2π，求x的值；
（2）求f（x）的最小正周期；
（3）若f（2α+

π

3

）=

10

13

，f（2β+

4π

3

）=-

6

5

，α，β∈[0，

π

2

]．求cos（α+β）的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由f（x）=

a

•

b

=0，利用向量的坐標運算與三角函數(shù)的運算性質(zhì)，求出x的值；
（2）利用兩角和的正弦公式化簡f（x），求出f（x）的最小正周期；
（3）由f（2α+

π

3

）求出cosα、sinα的值，由f（2β+

4π

3

）求出sinβ、cosβ的值，從而求出cos（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x，且f（x）=0；
∴sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x=0；
∵π＜x＜2π，∴

π

2

＜

1

2

x＜π，
∴cos

1

2

x≠0，∴tan

1

2

x=-

3

，
∴

1

2

x=

2π

3

，∴x=

4π

3

；
（2）∵f（x）=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x
=2（

1

2

sin

1

2

x+

3

2

cos

1

2

x）
=2（sin

1

2

xcos

π

3

+cos

1

2

xsin

π

3

）
=2sin（

1

2

x+

π

3

），
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=4π；
（3）∵f（2α+

π

3

）=2sin（α+

π

2

）=2cosα=

10

13

，
∴cosα=

5

13

；
又∵f（2β+

4π

3

）=2sin（β+π）=-2sinβ=-

6

5

，
∴sinβ=

3

5

；
∵α、β∈[0，

π

2

]，
∴sinα=

12

13

，cosβ=

4

5

；
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ
=

5

13

×

4

5

-

12

13

×

3

5

=-

16

65

．

點評：本題考查了三角函數(shù)的求值以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)靈活的利用公式進行解答問題，是基礎(chǔ)題．