Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，記P的軌跡為Γ．又過點(diǎn)（1，0）并且斜率為2的直線AB與Γ交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)拋物線的定義得動點(diǎn)P的軌跡Γ是拋物線，求出其方程為y²=4x．由直線方程的點(diǎn)斜式，算出直線AB的方程為y=2x-2，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)解，并結(jié)合拋物線的定義加以計算，可得線段AB的長．

解答： 解：∵動點(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，
∴由拋物線的定義，可得動點(diǎn)P的軌跡Γ是拋物線，
設(shè)其方程為y²=2px，由

p

2

=1得2p=4，
∴拋物線的方程為y²=4x，即為曲線Γ的方程．
過點(diǎn)（1，0）并且斜率為2的直線AB方程為y=2（x-1），即y=2x-2．
設(shè)直線l與曲線Γ的交點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
y=2（x-1）代入y²=4x，整理得x²-3x+1=0，可得x₁+x₂=3．
∴根據(jù)拋物線的定義，可得|AB|=x₁+x₂+p=2+x₁+x₂=5．

點(diǎn)評：本題給出動點(diǎn)滿足的條件，求動點(diǎn)的軌跡并依此求直線被曲線截得的弦長．著重考查了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等知識，屬于中檔題．