Question

設f(x)＝ln x＋ax(a∈R且a≠0)．

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)若a＝1，證明：x∈[1，2]時，f(x)－3<成立．

Answer 1

【解】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝＋a，

當a>0時，f′(x)>0，∴函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．

當a<0時，f′(x)＝，

由f′(x)>0得0<x<－；由f′(x)<0得，x>－.

∴函數(shù)f(x)在(0，－)上是增函數(shù)；在(－，＋∞)上是減函數(shù)．

(2)證明：當a＝1時，f(x)＝ln x＋x，

要證x∈[1，2]時，f(x)－3<成立，

只需證xln x＋x²－3x－1<0在x∈[1，2]時恒成立．

令g(x)＝xln x＋x²－3x－1，則g′(x)＝ln x＋2x－2，

設h(x)＝ln x＋2x－2，則h′(x)＝＋2>0，∴h(x)在[1，2]上單調遞增，

∴g′(1)≤g′(x)≤g′(2)，

即0≤g′(x)≤ln 2＋2，∴g(x)在[1，2]上單調遞增，∴g(x)≤g(2)＝2ln 2－3<0，

∴當x∈[1，2]時，xln x＋x²－3x－1<0恒成立，即原命題得證．