Question

已知函數(shù)f（x）+1=

1

f(x+1)

，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x．若在區(qū)間x∈（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ]
• B、[

  1

  2

  ，+∞）
• C、[0，

  1

  3

  ）
• D、[0，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求出f（x）的解析式，把在區(qū)間x∈（-1，1]內(nèi)，g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，
轉(zhuǎn)化為m=

f(x)

x+1

有2個(gè)解，令k（x）=

f(x)

x+1

，作出圖象，運(yùn)用圖象的交點(diǎn)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，
得出參變量m的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）+1=

1

f(x+1)

，
∴數(shù)f（x）=

1

f(x+1)

-1，
∵當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x．
∴當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)，f（x）=

1

f(x+1)

-1=

1

x+1

-1，
∵∴f（x）=m（x+1）有2個(gè)解
即m=

f(x)

x+1

有2個(gè)解
令k（x）=

f(x)

x+1

，
則k（x）=

1 (x+1)2 -1，-1≤x＜0 1- 1 x+1 ，0≤x≤1

k（x）圖象如下：

k（1）=

1

2

，
∴k（x）=

f(x)

x+1

，與y=m有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，0＜m≤

1

2

∴g（x）=f（x）-mx-m有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為：（0，

1

2

]，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考察了函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，方程的根的關(guān)系，考察了數(shù)形結(jié)合的思想．