Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面ABC垂直，且AA₁=4，AC=BC=2，∠ACB=90°．
（1）證明：AC⊥平面BCC₁B₁；
（2）求直線BB₁與平面AB₁C所成角的正切值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知得CC₁⊥平面ABC，從而AC⊥CC₁，由∠ACB=90°，得AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）過B作BG⊥B₁C，從而AC⊥BC，由線面垂直得CC₁⊥AC，從而AC⊥面B₁BCC₁，進(jìn)而∠BB₁G是直線BB₁與平面AB₁C所成角，由此能求出直線BB₁與平面AB₁C所成角的正切值．

解答： （1）證明：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)棱與底面ABC垂直，
∴CC₁⊥平面ABC，又AC?平面ABC，∴AC⊥CC₁，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
又BC∩CC₁=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁．
（2）解：過B作BG⊥B₁C，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵CC₁⊥面ABC，
∴CC₁⊥AC，
∴AC⊥面B₁BCC₁，
∴AC⊥BG，
∵BG⊥B₁C，
∴BG⊥面AB₁C，
∴∠BB₁G是直線BB₁與平面AB₁C所成角，
∴tan∠BB₁G=

BC

BB1

=

1

2

．
∴直線BB₁與平面AB₁C所成角的正切值為

1

2

．

點評：本題考查線面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．