【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為平行四邊形，且，，平面PAC.

（1）求證：平面；

（2）若異面直線PC與AD所成的角為30°，求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)線面垂直判斷定理:如果一條直線垂直一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交線,那么這條線垂直這個(gè)平面，要證平面，只需證明和，即可求得答案；

（2）先求證平面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量為，平面PDC的法向量為，根據(jù)，即可求得答案.

（1）在中，，，

由余弦定理得：

，

，，即

平面PAC，平面PAC，

.

又平面PAB，平面PAB，，

平面PAB.

（2），

是異面直線PC與AD所成的角，

又平面，

，在中，，，，

，易知，

在中，，

，取AB的中點(diǎn)E，連接PE，則.

由（1）知平面PAB，

，

又平面，平面ABCD，，

平面ABCD，

如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC所在直線分別為x，y軸，過點(diǎn)A且與PE平行的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，

可得：，，，

設(shè)平面PBC的法向量為，

則

取，則，

，是平面PBC的一個(gè)法向量

設(shè)平面PDC的法向量為，

則，

則，取，則，

，是平面PDC的一個(gè)法向量.

，

由圖可知二面角是鈍二面角，

二面角的余弦值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；

（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.

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【題目】為響應(yīng)黨中央“扶貧攻堅(jiān)”的號(hào)召，某單位指導(dǎo)一貧困村通過種植紫甘薯來提高經(jīng)濟(jì)收入.紫甘薯對(duì)環(huán)境溫度要求較高，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，隨著溫度的升高，其死亡株數(shù)成增長(zhǎng)的趨勢(shì).下表給出了2017年種植的一批試驗(yàn)紫甘薯在溫度升高時(shí)6組死亡的株數(shù)：

經(jīng)計(jì)算： ， ， ， ， ， ， ，其中分別為試驗(yàn)數(shù)據(jù)中的溫度和死亡株數(shù)， .

（1）若用線性回歸模型，求關(guān)于的回歸方程（結(jié)果精確到）；

（2）若用非線性回歸模型求得關(guān)于的回歸方程為，且相關(guān)指數(shù)為.

（i）試與（1）中的回歸模型相比，用說明哪種模型的擬合效果更好；

（ii）用擬合效果好的模型預(yù)測(cè)溫度為時(shí)該批紫甘薯死亡株數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.

附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)， ，……， ，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ；相關(guān)指數(shù)為： .

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【題目】在中，，.已知分別是的中點(diǎn).將沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，連接，如圖：

（1）證明：平面平面

（2）求平面與平面所成二面角的大小.

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【題目】對(duì)于某種類型的口服藥，口服小時(shí)后，由消化系統(tǒng)進(jìn)入血液中藥物濃度（單位）與時(shí)間小時(shí)的關(guān)系為，其中，為常數(shù)，對(duì)于某一種藥物，，．

（1）口服藥物后______小時(shí)血液中藥物濃度最高；

（2）這種藥物服藥小時(shí)后血液中藥物濃度如下表

1

2

3

4

5

6

7

8

0.9545

0.9304

0.6932

0.4680

0.3010

0.1892

0.1163

0.072

一個(gè)病人上午8：00第一次服藥，要使得病人血液中藥物濃度保持在0.5個(gè)單位以上，第三次服藥時(shí)間是______（時(shí)間以整點(diǎn)為準(zhǔn)）

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【題目】某中學(xué)從甲乙兩個(gè)教師所教班級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，每人分別對(duì)兩個(gè)教師進(jìn)行評(píng)分，滿分均為100分，整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，，，，，.得到甲教師的頻率分布直方圖，和乙教師的頻數(shù)分布表：

乙教師分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表

分?jǐn)?shù)區(qū)間

頻數(shù)

3

3

15

19

35

25

（1）在抽樣的100人中，求對(duì)甲教師的評(píng)分低于70分的人數(shù)；

（2）從對(duì)乙教師的評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人評(píng)分均在范圍內(nèi)的概率；

（3）如果該校以學(xué)生對(duì)老師評(píng)分的平均數(shù)是否大于80分作為衡量一個(gè)教師是否可評(píng)為該年度該校優(yōu)秀教師的標(biāo)準(zhǔn)，則甲、乙兩個(gè)教師中哪一個(gè)可評(píng)為年度該校優(yōu)秀教師？（精確到0.1）

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（2）若PD與平面ABCD所成的角為．且為銳角三角形，求平面PAD和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

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【題目】由團(tuán)中央學(xué)校部、全國(guó)學(xué)聯(lián)秘書處、中國(guó)青年報(bào)社共同舉辦的2018年度全國(guó)“最美中學(xué)生”尋訪活動(dòng)結(jié)果出爐啦，此項(xiàng)活動(dòng)于2018年6月啟動(dòng)，面向全國(guó)中學(xué)在校學(xué)生，通過投票方式尋訪一批在熱愛祖國(guó)、勤奮學(xué)習(xí)、熱心助人、見義勇為等方面表現(xiàn)突出、自覺樹立和踐行社會(huì)主義核心價(jià)值觀的“最美中學(xué)生”.現(xiàn)隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的票數(shù)，繪成如圖所示的莖葉圖，若規(guī)定票數(shù)在65票以上（包括65票）定義為風(fēng)華組.票數(shù)在65票以下（不包括65票）的學(xué)生定義為青春組.

（1）如果用分層抽樣的方法從青春組和風(fēng)華組中抽取5人，再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取2人，那么至少有1人在青春組的概率是多少？

（2）用樣本估計(jì)總體，把頻率作為概率，若從該地區(qū)所有的中學(xué)（人數(shù)很多）中隨機(jī)選取4人，用表示所選4人中青春組的人數(shù)，試寫出的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望.

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