【題目】平面直角坐標系中,橢圓C:的離心率是,拋物線E:的焦點F是C的一個頂點.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設P是E上的動點,且位于第一象限,E在點P處的切線與C交與不同的兩點A,B,線段AB的中點為D,直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點M.
(i)求證:點M在定直線上;
(ii)直線與y軸交于點G,記的面積為,的面積為,求的最大值及取得最大值時點P的坐標.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(ⅰ)見解析;(ⅱ)的最大值為,此時點的坐標為
【解析】
試題(Ⅰ)根據(jù)橢圓的離心率和焦點求方程;
(Ⅱ)(ⅰ)由點P的坐標和斜率設出直線l的方程和拋物線聯(lián)立,進而判斷點M在定直線上;
(ⅱ)分別列出,面積的表達式,根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時點P的坐標.
試題解析:(Ⅰ)由題意知:,解得.
因為拋物線的焦點為,所以,
所以橢圓的方程為.
(Ⅱ)(1)設,由可得,
所以直線的斜率為,其直線方程為,即.
設,聯(lián)立方程組
消去并整理可得,
故由其判別式可得且,
故,
代入可得,
因為,所以直線的方程為.
聯(lián)立可得點的縱坐標為,即點在定直線上.
(2)由(1)知直線的方程為,
令得,所以,
又,
所以,,
所以,令,則,
因此當,即時,最大,其最大值為,此時滿足,
所以點的坐標為,因此的最大值為,此時點的坐標為.
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【題目】(1)求與直線3x+4y-7=0垂直,且與原點的距離為6的直線方程;
(2)求經(jīng)過直線l1:2x+3y-5=0與l2:7x+15y+1=0的交點,且平行于直線x+2y-3=0的直線方程.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求和的直角坐標方程;
(2)若曲線截直線所得線段的中點坐標為,求的斜率.
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【題目】已知橢圓:的離心率,過橢圓的左焦點且傾斜角為的直線與圓相交所得弦長為.
(1)求橢圓的方程;
(2)是否存在過點的直線與橢圓交于兩點,且,若存在,求直線的方程;若不存在,說明理由.
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【題目】已知函數(shù)的定義域為,且存在實常數(shù),使得對于定義域內任意,都有成立,則稱此函數(shù)具有“性質”
(1)判斷函數(shù)是否具有“性質”,若具有“性質”,則求出的值;若不具有“性質”,請說明理由;
(2)已知函數(shù)具有“性質”且函數(shù)在上的最小值為;當時,,求函數(shù)在區(qū)間上的值域;
(3)已知函數(shù)既具有“性質”,又具有“性質”,且當時,,若函數(shù),在恰好存在個零點,求的取值范圍.
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【題目】如圖,直三棱柱中,,,,外接球的球心為О,點E是側棱上的一個動點.有下列判斷:
①直線AC與直線是異面直線;
②一定不垂直;
③三棱錐的體積為定值;
④的最小值為
⑤平面與平面所成角為
其中正確的序號為_______
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【題目】經(jīng)調查,3個成年人中就有一個高血壓,那么什么是高血壓?血壓多少是正常的?經(jīng)國際衛(wèi)生組織對大量不同年齡的人群進行血壓調查,得出隨年齡變化,收縮壓的正常值變化情況如下表:
其中: , ,
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關于的線性回歸方程;(的值精確到0.01)
(3)若規(guī)定,一個人的收縮壓為標準值的0.9~1.06倍,則為血壓正常人群;收縮壓為標準值的1.06~1.12倍,則為輕度高血壓人群;收縮壓為標準值的1.12~1.20倍,則為中度高血壓人群;收縮壓為標準值的1.20倍及以上,則為高度高血壓人群.一位收縮壓為180mmHg的70歲的老人,屬于哪類人群?
【答案】(1)答案見解析;(2) ;(3)中度高血壓人群.
【解析】試題分析:(1)將數(shù)據(jù)對應描點,即得散點圖,(2)先求均值,再代人公式求,利用求,(3)根據(jù)回歸直線方程求自變量為180時對應函數(shù)值,再求與標準值的倍數(shù),確定所屬人群.
試題解析:(1)
(2)
∴
∴回歸直線方程為.
(3)根據(jù)回歸直線方程的預測,年齡為70歲的老人標準收縮壓約為(mmHg)∵
∴收縮壓為180mmHg的70歲老人為中度高血壓人群.
【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖,四棱柱的底面為菱形, , , 為中點.
(1)求證: 平面;
(2)若底面,且直線與平面所成線面角的正弦值為,求的長.
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