已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和為Sn,an+1=2Sn+1,n∈N*
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3an+1,求數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和Tn,并證明:1≤Tn
9
4
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合
專題:不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)和和之間的關(guān)系,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求出bn=log3an+1的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法即可求數(shù)列{
bn
an
}的前n項(xiàng)和Tn,并證明:1≤Tn
9
4
解答: 解:(1)由題意得an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1,n≥2,
兩式相減得an+1-an+1=2Sn-2Sn-1=an+1=2an
則an+1=3an,n≥2,
所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是以3為公比的等比數(shù)列.
因?yàn)閍2=2S1+1=2+1=3,
a2
a1
=3
,
所以,
an+1
an
=3,對(duì)任意正整數(shù)成立 {an}是首項(xiàng)為1,公比為3的等比數(shù)列.
(2)由(1得知an=3n-1,bn=log3an+1=log33n=n,
bn
an
=
n
3n-1
=n•(
1
3
n-1,
Tn=1+2×
1
3
+3•(
1
3
2+…+n•(
1
3
n-1      ①
1
3
Tn=
1
3
+2•(
1
3
2+…+(n-1)•(
1
3
n-1+n•(
1
3
n    ②
①-②得
2
3
Tn=1+
1
3
+(
1
3
2+…+(
1
3
n-1-n•(
1
3
n=
1-(
1
3
)n
1-
1
3
-n•(
1
3
n
所以Tn=
9
4
-(
9
4
+
3
2
n
)•(
1
3
n,
因?yàn)椋?span id="sbvfnbv" class="MathJye">
9
4
+
3
2
n
)•(
1
3
n>0,
所以Tn=
9
4
-(
9
4
+
3
2
n
)•(
1
3
n
9
4
,
又因?yàn)門n+1-Tn=
n+1
3n
>0
,所以數(shù)列{Tn}單調(diào)遞增,所以Tn的最小值為T1=1,
所以1≤Tn
9
4
點(diǎn)評(píng):本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用,以及數(shù)列求和,利用錯(cuò)位相減法是解決本題的關(guān)鍵,綜合性較強(qiáng),運(yùn)算量較大.
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A、C⊆A
B、C⊆∁UA
C、∁UA=B
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(Ⅰ)若函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,求a的取值范圍;
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1
3
t(t≤1),求該函數(shù)的值域.

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對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a、b,若a?b的運(yùn)算原理如圖所示,則(log28)?(
1
2
-2=
 

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4
x
+
16
y
=1,求x+y的最小值.
(2)圓O1和圓O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ,求經(jīng)過(guò)兩圓圓心的直線的直角坐標(biāo)方程.

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已知x,y滿足約束條件
x+2y-4≤0
x-y-1≤0
x+2≥0
,求目標(biāo)函數(shù)z=x+2y+2的最大值和最小值.

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