Question

過(guò)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F₁，作圓x²+y²=a²的切線交雙曲線右支于點(diǎn)P，切點(diǎn)為T，PF₁的中點(diǎn)M在第一象限，則以下結(jié)論正確的是（　�。�

• A、b-a=|MO|-|MT|
• B、b-a＞|MO|-|MT|
• C、b-a＜|MO|-|MT|
• D、b-a=|MO|+|MT|

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先從雙曲線方程得：a，b．連OT，則OT⊥F₁T，在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=b．連PF₂，M為線段F₁P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)得出|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+b，最后結(jié)合雙曲線的定義得出答案．

解答： 解：連OT，則OT⊥F₁T，
在直角三角形OTF₁中，|F₁T|=

|OF1|2-|OT|2

=b．
連PF₂，M為線段F₁P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，
∴|MO|-|MT|=

1

2

|PF₂|-（

1

2

|PF₁|-|F₁T|）=

1

2

（|PF₂|-|PF₁|）+b
=

1

2

×（-2a）+b=b-a．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查雙曲線的定義及三角形中位線和直線與圓相切時(shí)應(yīng)用勾股定理．解答的關(guān)鍵是熟悉雙曲線的定義的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系以及三角形中的有關(guān)結(jié)論．