Question

已知如圖（1），正三角形ABC 的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E、F分別是AC和BC邊上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

=k，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B，如圖（2）．
（Ⅰ） 證明AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 求二面角B-AC-D的平面角的正切值；
（Ⅲ） 若異面直線AB與DE所成角的余弦值為

2

4

，求k的值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知條件

CE

CA

=

CF

CB

便可得到AB∥EF，所以便得到AB∥平面DEF；
（Ⅱ）要求二面角B-AC-D的平面角的正切值，先要找到該平面角．由已知條件容易說明BD⊥平面ACD，所以過D作DG⊥AC，垂足為G，連接BG，則∠DGB便是二面角B-AC-D的平面角，所以根據(jù)已知的邊的長度可求出DG，BD是已知的，所以帶入tan∠DGB=

BD

DG

即可；
（Ⅲ）容易說明異面直線AB與DE所成角為∠DEF或其補角，容易說明DE=DF，并且在△CDE中，根據(jù)余弦定理即可求出DE，EF根據(jù)條件容易求出，所以在△DEF中，根據(jù)已知的cos∠DEF=

2

4

，及余弦定理即可建立關于k的方程，解方程即得到k的值．

解答： 解：（Ⅰ）證明：在△ABC中，∵E、F分別是AC、BC上的點，且滿足

CE

CA

=

CF

CB

；
∴AB∥EF；
∵AB?平面DEF，EF?平面DEF；
∴AB∥平面DEF；
（Ⅱ） 過D點作DG⊥AC于G，連結BG；

∵AD⊥CD，BD⊥CD，
∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角；
∴∠ADB=90°，即BD⊥AD；
∴BD⊥平面ADC．∴BD⊥AC；
∴AC⊥DG，AC⊥BD；
∴AC⊥平面BGD；
∴BG⊥AC；
∴∠BGD是二面角B-AC-D的平面角；
在RtADC中，AD=a，DC=

3

a，AC=2a，∴DG=

AD•DC

AC

=

3 a2

2a

=

3 a

2

；
在Rt△BDG中，tan∠BGD=

BD

DG

=

a

3 a 2

=

2 3

3

；
（Ⅲ）∵AB∥EF，∴∠DEF（或其補角）是異面直線AB與DE所成的角；
∵

CE

CA

=

CF

CB

=k，CA=CB=2a；
∴CE=CF=2ak，又∠ECD=∠FCD；
∴△CED≌△CFD；
∴DE=DF=

CE2+CD2-2CE•CD•cos∠ECD

=

4a2k2+3a2-4 3 a2k• 3 a 2a

=a•

4k2-6k+3

∵

CE

CA

=

CF

CB

=k；
∴

EF

AB

=k，AB=

2

a；
∴EF=

2

ak；
∴在△DEF中，cos∠DEF=

DE2+EF2-DF2

2DE•EF

=

EF

2DE

=

2 ak

2a• 4k2-6k+3

=

2

4

；
∴解得k=

1

2

．

點評：考查平行線分線段成比例定理，線面平行的判定定理，異面直線所成角的概念，以及二面角的平面角的概念，余弦定理．