Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，以的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)，分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，是直線上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若直線，分別與橢圓相交于異于，的點(diǎn)、，試探究，點(diǎn)是否在以為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】(1)；(2)點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：(1)由已知條件的值,再寫出橢圓方程；(2)要證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，只需證明為鈍角即可,所以求出坐標(biāo),判斷的符號(hào)得出為銳角，從而為鈍角.

試題解析：（1）依題意得，，

又，由此解得，，所以橢圓的方程為．

（2）點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)，證明如下：

由（1）得，，設(shè)．

因?yàn)?/span>點(diǎn)在橢圓上，所以．①

又點(diǎn)異于頂點(diǎn)、，所以．

由、、三點(diǎn)共線可得，

從而，，

所以．②

將①代入②，化簡(jiǎn)得，

因?yàn)?/span>，所以，于是為銳角，從而為鈍角，

故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．