Question

已知曲線(xiàn)C：xy=1，過(guò)C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=-

1

xn+2

的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），點(diǎn)列A_n（n∈N^*）的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{x_n}，其中x₁=

11

7

（1）求x_n與x_n+1的關(guān)系式；
（2）求證：{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{x_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系建立條件方程即可得到結(jié)論．
（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列是等比數(shù)列．

解答： 解：（1）過(guò)C上一點(diǎn)A_n（x_n，y_n）作一斜率為k_n=-

1

xn+2

的直線(xiàn)交曲線(xiàn)C于另一點(diǎn)A_n+1（x_n+1，y_n+1），
則k_n=

yn+1-yn

xn+1-xn

=

1 xn+1 - 1 xn

xn+1-xn

=-

1

xn+1xn

=-

1

xn+2

，
則x_nx_n+1=x_n+2．
（2）記a_n=

1

xn-2

+

1

3

，則a_n+1=

1

xn+1-2

+

1

3

=

1

xn+2 xn -2

+

1

3

=-2(

1

xn-2

+

1

3

)=-2an，
故{

1

xn-2

+

1

3

}是等比數(shù)列，公比q=-2．
則∵an=(-2)n，
∴xn=2+

1

(-2)n- 1 3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查遞推數(shù)列的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．