分析 (Ⅰ)由題意可知:準線l的方程為:y=-$\frac{p}{2}$,準線l圓x2+y2=4相切,則$\frac{p}{2}$=2,解得:p=4,即可求得拋物線C的方程;
(Ⅱ)設直線m:y=kx+1,代入拋物線方程由韋達定理可知:x1•x2=-8,y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=-8k2+8k+1,根據向量數量積的坐標運算,即可求得 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=-7.
解答 解:(Ⅰ)依題意,可設拋物線C的方程為:x2=2py,p>0
其準線l的方程為:y=-$\frac{p}{2}$,
∵準線l圓x2+y2=4相切,
∴$\frac{p}{2}$=2,解得:p=4,
故拋物線線C的方程為:x2=8y;….…(5分)
(Ⅱ)命題p為真命題 …(6分)
證明:直線m和拋物線C交于A,B且過定點(0,1),
故所以直線m的斜率k一定存在,…(7分)
設直線m:y=kx+1,交點A(x1,y1)B(x2,y2).
聯立拋物線C的方程,$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$
整理得:x2-8kx-8=0,△=64k2+64>0恒成立,…(8分)
由韋達定理得:x1+x2=8k,x1•x2=-8,…(9分)
y1•y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1•x2+k(x1+x2)+1=-8k2+8k+1
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x1•x2+y1•y2=-8+-8k2+8k+1=-7,
∴命題P為真命題.…(12分).
點評 本題考查拋物線的標準方程及性質,考查點到直線的距離公式,直線與拋物線的位置關系,向量數量積的坐標運算,考查計算能力,屬于中檔題.
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A. | [0,+∞) | B. | [2,+∞) | C. | [$\frac{1}{2}$,+∞) | D. | [$\frac{1}{2}$,$\frac{5}{2}$) |
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A. | z的實部為-$\frac{1}{2}$ | B. | z的虛部為-$\frac{1}{2}$i | ||
C. | |z|=$\frac{1}{2}$ | D. | z的共軛復數為$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$i |
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A. | $\sqrt{7}-1$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{5}-1$ | D. | $\sqrt{3}$ |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 45 | B. | 46 | C. | 47 | D. | 48 |
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A. | 2 | B. | 3 | C. | $\sqrt{3}$+2 | D. | $2\sqrt{3}$ |
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