Question

17．拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點F在y軸正半軸上，準線l與圓x²+y²=4相切．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）已知直線l和拋物線C交于點A，B，命題P：“若直線l過定點（0，1），則 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-7”，請判斷命題P的真假，并證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意可知：準線l的方程為：y=-$\frac{p}{2}$，準線l圓x²+y²=4相切，則$\frac{p}{2}$=2，解得：p=4，即可求得拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線m：y=kx+1，代入拋物線方程由韋達定理可知：x₁•x₂=-8，y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=-8k²+8k+1，根據向量數量積的坐標運算，即可求得 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-7．

解答 解：（Ⅰ）依題意，可設拋物線C的方程為：x²=2py，p＞0
其準線l的方程為：y=-$\frac{p}{2}$，
∵準線l圓x²+y²=4相切，
∴$\frac{p}{2}$=2，解得：p=4，
故拋物線線C的方程為：x²=8y；…．…（5分）
（Ⅱ）命題p為真命題　…（6分）
證明：直線m和拋物線C交于A，B且過定點（0，1），
故所以直線m的斜率k一定存在，…（7分）
設直線m：y=kx+1，交點A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
聯立拋物線C的方程，$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{{x}^{2}=8y}\end{array}\right.$
整理得：x²-8kx-8=0，△=64k²+64＞0恒成立，…（8分）
由韋達定理得：x₁+x₂=8k，x₁•x₂=-8，…（9分）
y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁•x₂+k（x₁+x₂）+1=-8k²+8k+1
 $\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁•x₂+y₁•y₂=-8+-8k²+8k+1=-7，
∴命題P為真命題．…（12分）．

點評 本題考查拋物線的標準方程及性質，考查點到直線的距離公式，直線與拋物線的位置關系，向量數量積的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．