Question

利用已學(xué)知識(shí)證明：
（1）sinθ+sinφ=2sin

θ+φ

2

cos

θ-φ

2

；
（2）已知△ABC的外接圓的半徑為2，內(nèi)角A，B，C滿足sin2A+sin（A-B+C）=sin（C-A-B）+

1

2

，求△ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)恒等式的證明,三角函數(shù)的和差化積公式

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形

分析：（1）由于θ=（

θ+φ

2

+

θ-φ

2

），φ=（

θ+φ

2

-

θ-φ

2

）即可證明；
（2）化簡(jiǎn)可得sinAsinBsinC=

1

8

，由已知△ABC的外接圓的半徑為2，即可求△ABC的面積．

解答： 解：（1）sinθ+sinϕ=sin(

θ+ϕ

2

+

θ-ϕ

2

)+sin(

θ+ϕ

2

-

θ-ϕ

2

)=2sin

θ+ϕ

2

cos

θ-ϕ

2

…（4分）
（2）∵sin2A+sin(π-2B)=sin(2C-π)+

1

2

∴sin2A+sin2B+sin2C=

1

2

由（1）可得2sin

2A+2B

2

cos

2A-2B

2

+2sinCcosC=

1

2

2sinC[cos(A-B)-cos(A+B)]=4sinCsinAsinB=

1

2

∴sinAsinBsinC=

1

8

…（10分）
∵已知△ABC的外接圓的半徑為2
∴S△ABC=2R2sinAsinBsinC=1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察了三角函數(shù)的和差化積公式的應(yīng)用，三角函數(shù)恒等式的證明，屬于中檔題．