過點(1,2)的直線l與x軸的正半軸,y軸的正半軸分別交于A、B兩點,O為坐標(biāo)原點,當(dāng)△AOB的面積最小時,直線l的方程是 .
【答案】
分析:可設(shè)出直線的斜率為k,根據(jù)題意可知k<0,又過(1,2)得到直線方程為y-2=k(x-1),則分別令y=0和x=0求出A和B兩點坐標(biāo),然后表示出面積的關(guān)系式,求出面積最小時k的值,然后代入得到直線l的方程即可.
解答:解:設(shè)直線的斜率為k,且由直線l與x軸的正半軸,y軸的正半軸分別交于A、B兩點得到k<0,
所以直線l的方程為:y-2=k(x-1)即kx-y+2-k=0,令x=0,得到y(tǒng)=2-k,所以B(0,2-k);令y=0,得到x=1-
,所以A(1-
,0)
由k<0,則三角形AOB的面積為S=
(2-k)(1-
)=
(4-
-k)≥
[4+2
]=4,
當(dāng)且僅當(dāng)-
=-k即k=±2,因為k<0,所以k=-2,
所以直線方程為2x+y-4=0
故答案為2x+y-4=0
點評:考查學(xué)生會求直線與x軸、y軸的截距,會利用基本不等式求面積的最小值,會寫出直線的一般式方程.