Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

1+x2

（Ⅰ）分別求f（2）+f（

1

2

），f（3）+f（

1

3

），f（4）+f（

1

4

） 的值；
（Ⅱ）歸納猜想一般性結(jié)論，并給出證明；
（Ⅲ）求值：2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2014

）+

1

22

f（2）+

1

32

f（3）+…+

1

20142

f（2014）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的值

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）代入解析式可分別求得結(jié)果；
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（

1

x

）=1，代入解析式可證明；
（Ⅲ）可得f（x）+

1

x2

f（x）=

x2

1+x2

(1+

1

x2

)=1，再由（Ⅱ）得f（x）+f（

1

x

）=1，對目標(biāo)式分組求和即可；

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

x2

1+x2

，
∴f（2）+f（

1

2

）=

22

1+22

+

( 1 2 )2

1+( 1 2 )2

=

22

1+22

+

1

1+22

=1，
同理可得f（3）+f（

1

3

）=1，f（4）+f（

1

4

）=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想f（x）+f（

1

x

）=1，
證明：f（x）+f（

1

x

）=

x2

1+x2

+

( 1 x )2

1+( 1 x )2

=

x2

1+x2

+

1

1+x2

=1．
（Ⅲ）∵f（x）+

1

x2

f（x）=

x2

1+x2

(1+

1

x2

)=1，由（Ⅱ）得f（x）+f（

1

x

）=1，
則2f（2）+2f（3）+…+2f（2014）+f（

1

2

）+f（

1

3

）+…+f（

1

2014

）+

1

22

f（2）+

1

32

f（3）+…+

1

20142

f（2014）
=[f（2）+f（

1

2

）+f（2）+

1

22

f(2)]+[f（3）+f（

1

3

）+

1

32

f(3)]+[f（2014+f（

1

2014

）+f（2014）+

1

20142

f(2014)]
=

2+2+…+2

2013個2

=4026．

點(diǎn)評：該題考查函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)值的求解，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．