Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）若對(duì)任意的x∈[0，1]，不等式f（x）-m≤0都成立，求實(shí)數(shù)m的最小值；
（Ⅱ）若關(guān)于x的方程f（x）=x²+x+a在區(qū)間[0，2]上恰有兩個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專(zhuān)題：分類(lèi)討論,函數(shù)思想,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（I）利用導(dǎo)數(shù)求出f（x）在[0，1]的最大值f（x）_max，令m≥f（x）_max即可；
（II）由f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，化簡(jiǎn)并構(gòu)造函數(shù)g（x），
討論g（x）在[0，2]上的增減性，求出g（x）在[0，2]上的最值，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（I）設(shè)f（x）在[0，1]的最大值為f（x）_max，依題意有f（x）_max≤m，
∴f′（x）=2（1+x）-

2

1+x

=

2x2+4x

1+x

，
當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f′（x）≥0，
∴f（x）在[0，1]上為增函數(shù)，且f（x）_max=f（1）=4-2ln2，
∴m≥4-2ln2，即實(shí)數(shù)m的最小值為4-2ln2；
（II）由f（x）=x²+x+a，得
（1+x）-2ln（1+x）=a在[0，2]上恰有兩個(gè)相異實(shí)根，
令g（x）=（1+x）-2ln（1+x），則g′（x）=

x-1

x+1

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，
∴g（x）在[0，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上是增函數(shù)，
又∵g（0）=1，g（2）=3-2ln3＜3-2lne=1，∴g（0）＞g（2）；
∴當(dāng)g（1）＜a≤g（2），即2-2ln2＜a≤3-2ln3時(shí)，滿(mǎn)足題意；
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ln

e2

4

，ln

e3

9

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，也考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問(wèn)題，考查了構(gòu)造函數(shù)以及分類(lèi)討論思想，是難題．