Question

4．若關(guān)于x的方程9^x+（a+4）•3^x+4=0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，-8]∪[0，+∞）
• B． （-∞，-4）
• C． [-8，-4）
• D． （-∞，-8]

Answer 1

分析 令3^x=t＞0，由條件可得a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，利用基本不等式和不等式的性質(zhì)求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令3^x=t＞0，則關(guān)于x的方程9^x+（4+a）•3^x+4=0 即 t²+（4+a）t+4=0 有正實(shí)數(shù)解．
故a=$\frac{{t}^{2}+4t+4}{-t}=-4-（t+\frac{4}{t}）$，
由基本不等式可得：t+$\frac{4}{t}$≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t=$\frac{4}{t}$時(shí)，等號(hào)成立，
∴-（t+$\frac{4}{t}$）≤-4，即-4-（t+$\frac{4}{t}$）≤-8，
∴a≤-8，
∴a的取值范圍是（-∞，-8]．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，考查利用基本不等式求最值問題，同時(shí)考查轉(zhuǎn)化思想和換元法，屬中檔題．