Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時，f（x）＜0．
（1）求f（0）的值；       
（2）討論f（x）的奇偶性和單調(diào)性．
（3）當(dāng)x＞0時，對于f（x）總有f（1-m）+f（1-m²）＜0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由f（x+y）=f（x）+f（y），可得f（0）=f（0）+f（0），從而求得f（0）的值．
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（-x）=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．設(shè)x₂＞x₁，可得x₂-x₁＞0．再根據(jù)條件可得f（x₂-x₁）＜0，即 f（x₂）-f（x₁）＜0，可得函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)．
（3）當(dāng)x＞0時，由f（1-m）＜f（m²-1），可得 

1-m＞0 m2-1＞0 1-m＞m2-1

，由此求得m的值．

解答： 解：（1）由于定義在R上的函數(shù)y=f（x）滿足條件：對于任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）+f（y），
故有f（0）=f（0）+f（0），故有f（0）=0．
（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=-x，可得f（0）=0=f（x）+f（-x），∴f（-x）=-f（x），故函數(shù)為奇函數(shù)．
設(shè)x₂＞x₁，可得x₂-x₁＞0．再根據(jù)當(dāng)x＞0時，f（x）＜0，可得f（x₂-x₁）＜0，∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即 f（x₂）＜f（x₁），
故函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù)．
（3）∵當(dāng)x＞0時，對于f（x）總有f（1-m）+f（1-m²）＜0，即 f（1-m）＜f（m²-1），
∴

1-m＞0 m2-1＞0 1-m＞m2-1

，求得-2＜m＜1．

點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，屬于基礎(chǔ)題．