以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學(xué)在期末考試中的數(shù)學(xué)成績．乙組記錄中有一個數(shù)字模糊，無法確認(rèn)，假設(shè)這個數(shù)字具有隨機(jī)性，并在圖中以表示．
 
（Ⅰ）若甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，求的值；
（Ⅱ）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；
（Ⅲ）當(dāng)時，分別從甲、乙兩組中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，記這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）分布列詳見解析，期望.

解析試題分析：（Ⅰ）根據(jù)甲乙平均成績相等列等式，得，可求的值為1；（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/c0/5/ii7uq1.png" style="vertical-align:middle;" />的取值具有隨機(jī)性，故，有10種可能，而乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能，故所求事件的概率為；（Ⅲ）從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有種，分別計算每組兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績之差的絕對值，以確定的取值，并分別求取相應(yīng)值的概率，寫出分布列并求期望.
試題解析：（Ⅰ）解：依題意，得 ，解得 .
（Ⅱ）解：設(shè)“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，依題意 ，共有10種可能.
由（Ⅰ）可知，當(dāng)時甲、乙兩個小組的數(shù)學(xué)平均成績相同，所以當(dāng)時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有8種可能．所以乙組平均成績超過甲組平均成績的概率．
（Ⅲ）解：當(dāng)時，分別從甲、乙兩組同學(xué)中各隨機(jī)選取一名同學(xué)，所有可能的成績結(jié)果有種， 它們是：，，，，，，，，
則這兩名同學(xué)成績之差的絕對值的所有取值為.
因此，，，，.
所以隨機(jī)變量的分布列為：


0
1
2
3
4






所以的數(shù)學(xué)期望．
考點(diǎn)：1、平均數(shù)；2、古典概型；3、離散型隨機(jī)變量的分布列和期望.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某高校在202年自主招生考試成績中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的筆試成績，按成績分組：第1組[75，80)，第2組[80，85)， 第3組[85，90)，第4組[90，95)，第5組[95，100]得到的頻率分布直方圖如圖所示．

（1）分別求第3，4，5組的頻率；
（2）若該校決定在筆試成績高的第3，4，5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，
(ⅰ)已知學(xué)生甲和學(xué)生乙的成績均在第三組，求學(xué)生甲和學(xué)生乙同時進(jìn)入第二輪面試的概率；
(ⅱ)學(xué)校決定在這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官D的面試，設(shè)第4組中有名學(xué)生被考官D面試，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知二次函數(shù)（），若是從區(qū)間中隨機(jī)抽取的一個數(shù)，是從區(qū)間中隨機(jī)抽取的一個數(shù)，求方程沒有實(shí)數(shù)根的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一汽車廠生產(chǎn)A,B,C三類轎車,每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號,某月的產(chǎn)量如表所示(單位輛)，若按A,B,C三類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛,則A類轎車有10輛

 
轎車A
轎車B
轎車C
舒適型
100
150
z
標(biāo)準(zhǔn)型
300
450
600
 
（1）求下表中z的值；
（2）用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛,經(jīng)檢測它們的得分如下：94,86,92,96,87,93,90,82把這8輛轎車的得分看作一個總體,從中任取一個得分?jǐn)?shù) 記這8輛轎車的得分的平均數(shù)為，定義事件{，且函數(shù)沒有零點(diǎn)}，求事件發(fā)生的概率

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

某商家推出一款簡單電子游戲,彈射一次可以將三個相同的小球隨機(jī)彈到一個正六邊形的頂點(diǎn)與中心共七個點(diǎn)中的三個位置上(如圖),用S表示這三個球?yàn)轫旤c(diǎn)的三角形的面積.規(guī)定:當(dāng)三球共線時,S=0;當(dāng)S最大時,中一等獎,當(dāng)S最小時,中二等獎,其余情況不中獎,一次游戲只能彈射一次.

（1）求甲一次游戲中能中獎的概率;
（2）設(shè)這個正六邊形的面積是6,求一次游戲中隨機(jī)變量S的分布列及期望值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一個盒子中裝有形狀大小相同的5張卡片,上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,甲乙兩人分別從盒子中隨機(jī)不放回的各抽取一張．
(Ⅰ)寫出所有可能的結(jié)果,并求出甲乙所抽卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)的概率；
(Ⅱ)以盒子中剩下的三張卡片上的數(shù)字作為邊長來構(gòu)造三角形,求出能構(gòu)成三角形的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一中食堂有一個面食窗口,假設(shè)學(xué)生買飯所需的時間互相獨(dú)立,且都是整數(shù)分鐘,對以往學(xué)生買飯所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下:

買飯時間（分）
1
2
3
4
5
頻率
0.1
0.4
0.3
0.1
0.1
從第一個學(xué)生開始買飯時計時.
（Ⅰ）求第2分鐘末沒有人買晚飯的概率；
（Ⅱ）估計第三個學(xué)生恰好等待4分鐘開始買飯的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

袋中有8個大小相同的小球，其中1個黑球，3個白球，4個紅球.
（I）若從袋中一次摸出2個小球，求恰為異色球的概率；
（II）若從袋中一次摸出3個小球，且3個球中，黑球與白球的個數(shù)都沒有超過紅球的個數(shù)，記此時紅球的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望E.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

一個袋子裝有大小形狀完全相同的9個球，其中5個紅球編號分別為1,2,3,4,5,4個白球編號分別為1,2,3,4，從袋中任意取出3個球．
(1)求取出的3個球編號都不相同的概率；
(2)記X為取出的3個球中編號的最小值，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．

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