Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊長，已知△ABC的周長為

3

+1，sinA+sinB=

3

sinC，且△ABC的面積為

3

8

sinC．
（1）求邊AB的長；
（2）求tan（A+B）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）由三角形周長得到三邊之和，已知等式利用正弦定理化簡得到關(guān)系式，兩式聯(lián)立求出AB的長即可；
（2）利用三角形面積公式列出關(guān)系式，把已知面積代入求出BC•AC的值，利用余弦定理表示出cosC，利用完全平方公式變形后，把各自的值代入求出cosC的值，進(jìn)而求出sinC與tanC的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡，把tanC的值代入計(jì)算即可求出值．

解答： 解：（1）∵△ABC的周長為

3

+1，∴AB+BC+AC=

3

+1，
又sinA+sinB=

3

sinC，∴由正弦定理得：BC+AC=

3

AB，
兩式相減，得AB=1；
（2）由△ABC的面積

1

2

BC•ACsinC=

3

8

sinC，得BC•AC=

3

4

，
由余弦定理得cosC=

AC2+BC2-AB2

2AC•BC

=

(AC+BC)2-2AC•BC-AB2

2AC•BC

=

3- 3 2 -1

3 2

=

1

3

，
又C為三角形內(nèi)角，∴sinC=

1-cos2C

=

2 2

3

，即tanC=2

2

，
則tan（A+B）=-tanC=-2

2

．

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面積公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．