Question

稱(chēng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：

①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比q及的通項(xiàng)公式；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記n階“期待數(shù)列”的前k項(xiàng)和為：

（i）求證：；

（ii）若存在使，試問(wèn)數(shù)列能否為n階“期待數(shù)列”？若能，求出所有這樣的數(shù)列；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）①若，由①得，，得，矛盾．-----------1分

若，則由①=0，得，-------------3分

由②得或．

所以，．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式是

或------------------------------------4分

記數(shù)列的前項(xiàng)和為，

則由（i）知，，

，而，

，從而，，

又，

則，-------------------------16分

，

與不能同時(shí)成立，

所以，對(duì)于有窮數(shù)列，若存在使，則數(shù)列的和數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”． ----------------------18分