長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,已知二面角A1-BD-A的大小為
π
6
,若空間有一條直線l與直線CC1,所成的角為
π
4
,則直線l與平面A1BD所成角的取值范圍是( �。�
A、[
π
12
,
12
]
B、[
π
12
,
π
2
]
C、[
π
12
,
12
]
D、[0,
π
2
]
考點(diǎn):直線與平面所成的角
專題:空間位置關(guān)系與距離
分析:如圖所示,過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD,連接A1O,由三垂線定理可得BD⊥A1O,則∠AOA1為二面角A1-BD-A的平面角.把直線l平移到AM,則∠A1AM=∠MAO=
π
4
.過(guò)點(diǎn)A作AP⊥A1O,則AP⊥平面A1BD.利用線面角的定義可得:AM(即直線l)與平面A1BD所成的最大角為∠AMA1.假設(shè)A1AN=
π
4
,AN與直線OP相交于點(diǎn)N,則AN(即直線l)與平面A1BD所成的最小角為∠ANP.
解答: 解:如圖所示,過(guò)點(diǎn)A作AO⊥BD,連接A1O,由三垂線定理可得BD⊥A1O,則∠AOA1為二面角A1-BD-A的平面角,∴∠AOA1=
π
6

把直線l平移到AM,則∠A1AM=∠MAO=
π
4

過(guò)點(diǎn)A作AP⊥A1O,則AP⊥平面A1BD.
∴AM(即直線l)與平面A1BD所成的最大角為∠AMA1=∠MAO+∠MOA=
π
4
+
π
6
=
12

假設(shè)A1AN=
π
4
,AN與直線OP相交于點(diǎn)N,則AN(即直線l)與平面A1BD所成的最小角為
∠ANP=∠PA1A-∠A1AN=
π
3
-
π
4
=
π
12

∴直線l與平面A1BD所成角的取值范圍是[
π
12
,
12
]

故選:C.
點(diǎn)評(píng):本題考查了二面角的平面角、線面角、三垂線定理、異面直線所成的角,考查了空間想象能力,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
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