Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且a₁+a₂=3，a₄+a₅=24
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=log₂a_n+1，設(shè){

1

bnbn+1

}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_n=

2014

2015

，求n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出；
（2）b_n=log₂a_n+1=log22n=n．可得

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁+a₂=3，a₄+a₅=24，
∴24=q³（a₁+a₂）=3q³，解得q=2．
代入a₁+a₂=3，可得a₁+2a₁=3，解得a₁=1，
∴數(shù)列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2^n-1．
（2）b_n=log₂a_n+1=log22n=n．
∴

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴其前n項(xiàng)和為S_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∵S_n=

2014

2015

，
∴

n

n+1

=

2014

2015

，
解得n=2014．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．