Question

【題目】若函數.

（1）討論的單調性；

（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數都有，.

Answer 1

【答案】（1）上單調遞減，在上單調遞增； （2）；（3）證明見解析

【解析】

（1）求導后，令可確定其在范圍內的根，進而得到導函數的正負，從而得到原函數的單調性；

（2）將恒成立的不等式轉化為，令，則只需，利用導數可求得，進而得到結果；

（3）取，結合（2）的結論可得，根據可裂項相加證得結論.

（1）由題意得：定義域為，，

設，，

有兩個根，設為，且，

，，，則，

當時，；當時，，

在上單調遞減，在上單調遞增.

（2），，又，，

設，，

令，則，在上單調遞減，

又，則當時，；當時，，

在上單調遞增，在上單調遞減，，

恒成立即，即的取值范圍為.

（3）取，由（2）知：，，

當時，，，；

取，得；取，得；……；取，得；

將這個式子相加得：.