Question

已知拋物線C：y＝2x²，直線y＝kx＋2交C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線交C于點N.

(1)證明：拋物線C在點N處的切線與AB平行；

(2)是否存在實數(shù)k使＝0，若存在，求k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

1)證明　

如圖，設A(x_1,2x)，B(x₂，2x)，把y＝kx＋2代入y＝2x²得2x²－kx－2＝0，

由韋達定理得x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－1，

將y＝2x²代入上式得2x²－mx＋－＝0，

∵直線l與拋物線C相切，

∴Δ＝m²－8∴Δ＝m²－8＝m²－2mk＋k²

＝m²－2mk＋k²

＝(m－k)²＝0，∴m＝k.

即l∥AB.

(2)假設存在實數(shù)k，使＝0，

則NA⊥NB，

又∵M是AB的中點，∴MN＝AB.

由(1)知y_M＝(y₁＋y₂)

＝(kx₁＋2＋kx₂＋2)

＝[k(x₁＋x₂)＋4]

解得k＝±2.使＝0.