Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC邊長分別為AC=3，BC=4，AB=5，D為AB中點，AA₁=4，BC₁與B₁C交于點O．
（1）求證：BC⊥AC₁；
（2）求證：AC₁∥平面B₁CD；
（3）求三棱錐C-B₁DB的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由已知得CC₁⊥BC，AC⊥BC，從而BC⊥平面ACC₁A₁，由此能證明BC⊥AC₁．
（2）連結OD，則OD∥AC₁，由此能證明AC₁∥平面B₁CD．
（3）由已知得S△B1BD=

1

2

BB1•BD=

1

2

×4×

5

2

=5，C到平面B₁BD的距離h=

AC•BC

AB

=

12

5

，由此能求出三棱錐C-B₁DB的體積．

解答： （1）證明：∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
又BC?平面ABC，∴CC₁⊥BC，
∵底面△ABC邊長分別為AC=3，BC=4，AB=5，
∴AC⊥BC，
又AC∩CC₁=C，∴BC⊥平面ACC₁A₁，
又AC₁?平面ACC₁A₁，∴BC⊥AC₁．
（2）證明：連結OD，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BB₁C₁C是矩形，
BC₁與B₁C交于點O，
∴O是BC₁中點，又D是AB中點，∴OD∥AC₁，
∵AC₁?平面B₁CD，OD?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．
（3）解：∵底面△ABC邊長分別為AC=3，BC=4，AB=5，
D為AB中點，AA₁=4，
∴S△B1BD=

1

2

BB1•BD=

1

2

×4×

5

2

=5，
設C到平面B₁BD的距離為h，
由

1

2

BD•h=

1

2

AC•BC，得h=

AC•BC

AB

=

12

5

，
∴三棱錐C-B₁DB的體積：
V=

1

3

S△B1BD•h=

1

3

×5×

12

5

=4．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．