Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和（n=1，2，3，…），按如下方式定義數(shù)列{a_n}：a₁=m（m∈N^*），對(duì)任意k∈N^*，k＞1，設(shè)a_k為滿足0≤a_k≤k-1的整數(shù)，且k整除S_k．
（1）當(dāng)m=9時(shí)，試給出{a_n}的前6項(xiàng)；
（2）證明：?k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

+1；
（3）證明：對(duì)任意的m，數(shù)列{a_n}必從某項(xiàng)起成為常數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用定義，可寫出{a_n}的前6項(xiàng)；
（2）利用放縮法證明k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

+1；
（3）確定數(shù)列{

Sk

k

}必將從某項(xiàng)起變?yōu)槌��?shù)，再證明：對(duì)任意的m，數(shù)列{a_n}必從某項(xiàng)起成為常數(shù)列．

解答： （1）解：m=9時(shí)，數(shù)列為9，1，2，0，3，3，3，3，
即前六項(xiàng)為9，1，2，0，3，3．
（2）證明：?k∈N^*，有

Sk+1

k+1

＜

Sk+1

k

=

Sk+ak+1

k

≤

Sk+k

k

=

Sk

k

+1；
（3）證明：∵?k∈N^*，有

Sk

k

∈N^*，
由（2）可得

Sk+1

k+1

＜

Sk

k

，
∵

S1

1

=m為定值且

Sk

k

單調(diào)不增，
∴數(shù)列{

Sk

k

}必將從某項(xiàng)起變?yōu)槌��?shù)，
不妨設(shè)從l項(xiàng)起

Sk

k

為常數(shù)，則

Sl+1

l+1

=

Sl

l

，
于是a_l+1=S_l+1-S_l=

Sl

l

，
∴a_l+2=a_l+1=

Sl

l

，
∴數(shù)列{a_n}當(dāng)n≥l+1時(shí)成為常數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．