Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=2，且a_n+2=a_n+1-a_n，設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，則S₂₀₁₄=

 

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Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：本題可先根據(jù)條件依次求出數(shù)列的前幾項，得到數(shù)列的一個周期，再利用數(shù)列的周期性求出前2014項的和，得到本題結論．

解答： 解：∵a₁=1，a₂=2，且a_n+2=a_n+1-a_n，
∴a₃=2-1=1，
a₄=1-2=-1，
a₅=-1-1=-2，
a₆=-2-（-1）=-1，
∴a₇=-1-（-2）=1，
a₈=1-（-1）=2，
∴a₇=a₁，a₈=a₂，
∴a_n=a_n+6，n∈N^*，即：數(shù)列{a_n}的周期為6．
∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，
∴S₂₀₁₄=a₁+a₂+a₃+…a₂₀₁₄
=（a₁+a₂+…+a₆）+（a₇+a₈+…+a₁₂）+…+（a₂₀₀₅+a₂₀₀₆+…+a₂₀₁₀）+a₂₀₁₁+a₂₀₁₂+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄
=335×[1+2+1+（-1）+（-2）+（-1）]+a₁+a₂+a₃+a₄
=1+2+1+（-1）
=3．
故答案為：3．

點評：本題考查了數(shù)列的周期性和數(shù)列的前n項，本題難度不大，屬于基礎題．