Question

如圖，給定拋物線C：y²=4x，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)
（1）設(shè)l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（2）若

FA

=2

BF

，求直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立中心與拋物線組成方程組，求得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出AB的長，然后求以AB為直徑的圓的方程；
（2）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用|FA|=2|BF|，轉(zhuǎn)化為向量共線關(guān)系，以及A、B在直線和拋物線上，求出A、B坐標(biāo)然后求直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意，得F（1，0），直線l的方程為y=x-1．
代入拋物線方程，得x²-6x+1=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為M（x₀，y₀），
因?yàn)椤?6²-4=32＞0，所以x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
所以圓心為M（3，2），
由拋物線定義，得|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=8（其中p=2）．
所以以AB為直徑的圓的方程為（x-3）²+（y-2）²=16；
（2）因?yàn)閨FA|=2|BF|，三點(diǎn)A，F(xiàn)，B共線且點(diǎn)A，B在點(diǎn)F兩側(cè)，
所以設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

FA

=（x₁-1，y₁），

BF

=（1-x₂，-y₂），
所以x₁-1=2（1-x₂），y₁=-2y₂…①
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）或x=1（不符合題意，舍去）．
代入拋物線方程，得ky²-4y-4k=0，
因?yàn)橹本�l與C相交于A，B兩點(diǎn)，所以k≠0，
則△=16+16k²＞0，y₁+y₂=

4

k

，y₁y₂=-4，…②
由①②，得方程組k=±2

2

，
故直線l的方程為y=±2

2

（x-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，直線和圓的方程的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程的思想，是中檔題．