Question

如圖，已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，AB=2，C是⊙O上一點(diǎn)，且AC=BC，PC與⊙O所在的平面成45°角，E是PC中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AE⊥PB；
（Ⅱ）求PB與面PAC所成角的正切值；
（Ⅲ）求異面直線PB與AC所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面所成的角

專(zhuān)題：空間角

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判定和性質(zhì)可得BC⊥平面PAC，因此BC⊥AE．由于PA⊥⊙O所在的平面，可得∠PCA是PC與⊙O所在的平面成的角，于是∠ACP=45°．
又E是PC中點(diǎn)，可得AE⊥PC．得到AE⊥平面PBC，即可．
（II）由（I）可知：BC⊥面PAC，因此∠BPC即為PB與面PAC所成角．在Rt△BPC中，tan∠BPC=

BC

PC

即可得出．
（III）過(guò)B作AC的平行線BD交圓于D．則∠PBD為兩異面直線所成的角．在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PBD=

PB2+BD2-PD2

2PB•BD

即可得出．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥⊙O所在的平面，∴PC⊥BC，
∵BC⊥AC，PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AE．
∵PA⊥⊙O所在的平面，
∴∠PCA是PC與⊙O所在的平面成的角，
∵PC與⊙O所在的平面成45°角，
∴∠ACP=45°．
∴PA=AC．
∵E是PC中點(diǎn)，
∴AE⊥PC．
又PC∩BC=C，
∴AE⊥平面PBC，PB?面PBC，
∴AE⊥PB；
 （Ⅱ）解：由（I）可知：BC⊥面PAC，
∴∠BPC即為PB與面PAC所成角．
在Rt△BPC中，tan∠BPC=

BC

PC

=

2

2

．
（Ⅲ）解：過(guò)B作AC的平行線BD交圓于D．則∠PBD為兩異面直線所成的角．
由BD=

2

，PB=

6

，PD=2，
在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PBD=

PB2+BD2-PD2

2PB•BD

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面角、異面直線所成的角、余弦定理、直角三角形的邊角關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．