Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S₅=3a₅=15則數(shù)列{

1

anan+1

}的前2014項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：依題意可求得等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=n，利用裂項(xiàng)法得

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，從而可得數(shù)列{

1

anan+1

}的前2014項(xiàng)和．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，3a₅=15，
∴a₅=5；又S₅=

5×(a1+a5)

2

=

5×2a3

2

=15，
∴a₃=3；
∴公差d=

5-3

5-3

=1，
∴a_n=a₃+（n-3）×d=3+（n-3）=n；
∴

1

anan+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₂₀₁₄=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

2014

-

1

2015

）=1-

1

2015

=

2014

2015

．
故答案為：

2014

2015

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與裂項(xiàng)法求和的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．