Question

【題目】如圖，在三棱錐中，，點為邊的中點.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】分析：（1）由題意，平面，得，又△為等邊三角形，得，與相交于點，利用線面垂直的判定定理得 平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到結論．

（2）由（1）可知，以點為坐標原點，直線為軸，直線為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到二面角的余弦值．

詳解：（1）由題意，平面，平面，可得，又△為等邊三角形，點為邊的中點，可得，與相交于點，則 平面，平面，所以，平面 平面．

（2）由（1）可知，在直角三角形中，，，可得，以點為坐標原點，直線為軸，直線為軸，過點且與平面垂直的直線為軸建立空間直角坐標系．

可得，，，，

，，，，

設為平面的一個法向量，則

，得，

同理可得，為平面的一個法向量，

設二面角的平面角為，

，

所以，二面角余弦值為．