Question

已知曲線C上任意一點P到兩定點F₁（-1，0）與F₂（1，0）的距離之和為4．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設曲線C與x軸負半軸交點為A，過點M（-4，0）作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點（B在M、C之間），N為BC中點．
（�。┳C明：k•k_ON為定值；
（ⅱ）是否存在實數(shù)k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題意知曲線是焦點為F₁（-1，0）與F₂（1，0）、長軸長為4的橢圓，由此能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設過點M的直線l的方程為y=k（x+4），設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），聯(lián)立方程組

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，由此能證明k•k_ON=-

3

4

為定值．
（ⅱ）若F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN=-1，由此推導出只能k=0，顯然不成立，故這樣的直線不存在．

解答： （Ⅰ）解：∵曲線C上任意一點P到兩定點F₁（-1，0）與F₂（1，0）的距離之和為4，
∴曲線是焦點為F₁（-1，0）與F₂（1，0）、長軸長為4的橢圓，
∴曲線C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）證明：設過點M的直線l的方程為y=k（x+4），
設B（x₁，y₁），C（x₂，y₂） （x₂＞y₂）．
聯(lián)立方程組

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，
則

x1+x2= -32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，…（5分）
故xN=

x1+x2

2

=

-16k2

4k2+3

，yN=k(xN+4)=

12k

4k2+3

，…（7分）
∴kON=-

3

4k

，
∴k•k_ON=-

3

4

為定值．…（8分）
（ⅱ）解：若F₁N⊥AC，則k_AC•k_FN=-1，
∵F₁ （-1，0），kF1N=

12k 4k2+3

-16k2 4k2+3 +1

=

4k

1-4k2

，
∴

y2

x2+2

•

4k

1-4k2

=-1，…（10分）
代入y₂=k（x₂+4）得x₂=-2-8k²，y₂=2k-8k³，
∵x₂≥-2，∴只能k=0，顯然不成立，
∴這樣的直線不存在．…（13分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查兩直線的斜率積為定值的證明，考查滿足條件的直線是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意橢圓定義的靈活運用．