Question

如圖，△ABC內接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=

3

．
（1）求證：DE⊥面ACD平面；
（2）設AC=x，V（x）表示三棱錐B-ACE的體積，求函數(shù)V（x）的解析式及最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（1）利用直徑所對的圓周角為直角，線面垂直的性質即可證明BC⊥平面ACD，再利用平行四邊形的性質BC∥ED，得到ED⊥平面ACD；
（2）利用三棱錐的體積計算公式即可得出表達式，再利用基本不等式的性質即可得出體積的最大值．

解答： （1）證明：∵四邊形DCBE為平行四邊形，∴CD∥BE，BC∥DE．
∵DC⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴DC⊥BC．
∵AB是圓O的直徑，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C．
∴BC⊥平面ADC．
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC；
（2）解：∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC．
在Rt△ABE中，AB=2，EB=

3

．
在Rt△ABC中，∵AC=x，BC=

4-x2

（0＜x＜2）．
∴S_△ABC=

1

2

AC•BC=

1

2

x•

4-x2

，
∴V（x）=V_E-ABC=

3

6

x•

4-x2

，（0＜x＜2）．
∵x²（4-x²）≤(

x2+4-x2

2

)2=4，當且僅當x²=4-x²，即x=

2

時，取等號，
∴x=

2

時，體積有最大值為

3

3

．

點評：熟練掌握直徑所對的圓周角為直角的性質、線面、面面垂直的判定和性質定理、三棱錐的體積計算公式是解題的關鍵．