Question

【題目】已知函數(shù)，a，bR.

（1）若a＝1，求關(guān)于x的不等式的解集；

（2）若，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）(0，)；（2）具體見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由已知表示函數(shù)的解析式，求導(dǎo)分析單調(diào)性，再聯(lián)系不等式的性質(zhì)求解；

（2）求導(dǎo)分析此時(shí)函數(shù)單調(diào)性，表示出其極小值，討論極小值大于零、等于零與小于零的不同情況時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）a＝1時(shí)，，，

當(dāng)x＞﹣2時(shí)，，所以在區(qū)間(﹣2，)上單調(diào)遞增，

由得x＞0；

當(dāng)x≤﹣2時(shí)，，此時(shí)，

綜上可得，不等式的解集為(0,)；

（2）時(shí)，，，令得x＝﹣a﹣1，列表如下：

	-	0	+
		極小值

所以，當(dāng)x＝﹣a﹣1時(shí)，函數(shù)的極小值為；

①當(dāng)即時(shí)，對(duì)任意xR，都有

恒成立，從而函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，

②當(dāng)即時(shí)，對(duì)任意xR，都有

恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，），從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，

③當(dāng)即時(shí)，

在區(qū)間[﹣a﹣1,﹣a]上，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，其中

，函數(shù)在區(qū)間[﹣a﹣1，)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間(﹣a﹣1,)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

在區(qū)間[4a,﹣a﹣1]上，函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，其中,且，

令，，，所以在區(qū)間(,﹣1]上單調(diào)遞減，

由a＜﹣1得，即，所以，

又因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間(,﹣a﹣1]上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間(,﹣a﹣1)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；從而函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

綜上可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.